动态规划学习——子序列问题

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一，最长定差子序列

1.题目

2，题目接口

3，解题思路及其代码

一，最长定差子序列

1.题目

给你一个整数数组 arr 和一个整数 difference，请你找出并返回 arr 中最长等差子序列的长度，该子序列中相邻元素之间的差等于 difference 。

子序列 是指在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除一些元素或不删除任何元素而从 arr 派生出来的序列。

示例 1：
输入：arr = [1,2,3,4], difference = 1
输出：4
解释：最长的等差子序列是 [1,2,3,4]。
示例 2：
输入：arr = [1,3,5,7], difference = 1
输出：1
解释：最长的等差子序列是任意单个元素。
示例 3：
输入：arr = [1,5,7,8,5,3,4,2,1], difference = -2
输出：4
解释：最长的等差子序列是 [7,5,3,1]。

2，题目接口

class Solution {
public:
    int longestSubsequence(vector<int>& arr, int difference) {

    }
};

3，解题思路及其代码

1.状态转移方程:

这道题要我们求的是最长定差子序列问题，不再是最长子序列。这里的关键便是定差，也就是说在我们知道差以后我们便可以知道第2个数的值。我们的dp[i] 表示为以i位置为结尾的最长等差子序列。

2.初始化：

当我们的每个nums[i]单独构成一个子序列时长度为1，所以我们初始化时边初始化为1即可。

在明确好这些后便可以写出如下代码：
class Solution {
public:
    int longestSubsequence(vector<int>& arr, int difference) {

              int n = arr.size();
              vector<int>dp(n,1);
              int Maxlenth = 1;
              
                 for(int i = 0;i<n;i++)
                 {
                     int num = arr[i]+difference;//找定差
                      
                     for( int j = i+1;j<n;j++)
                     {
                         if(arr[j] == num)
                         {
                             dp[j] = dp[i]+1;
                         }
                     }

                     Maxlenth = max(Maxlenth,dp[i]);//每次都要更新一下最大值
                 }

                 return Maxlenth;
              
           
    }
};
但是，这个代码是过不了的。因为这个代码的时间复杂度为O(n^2)。所以我们要对这个代码做一些优化。优化的秘诀便是hash表：unordered_map。改进思路如下：

1.先创建一个hash表。

2.将arr里面的所有元素和元素的对应下标放到hash表中构成映射，arr[i]作key，下标作value。

现在改进代码如下：
class Solution {
public:
    int longestSubsequence(vector<int>& arr, int difference) {
       
       unordered_map<int,int> hash;//在hash表里做dp
       int n = arr.size();
       int Max = 1;
       hash[arr[0]] = 1;

       for(int i = 1;i<n;i++)
       {
         hash[arr[i]] = hash[arr[i]-difference]+1;//如果arr[i]-difference那也会访问最后一个arr[i]-difference的值。因为hash的底层插入是头插
         Max = max(Max,hash[arr[i]]);
       }

       return Max;
    }
};