背包问题-二维dp

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所谓背包问题，最基础的是01背包，前提是背包容量有限，每个物品有自己的价值和重量，放/不放 就组成了问题的 0/1
在这里插入图片描述
对于背包问题，有一种写法，是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少
递推公式方面，可以通过两个情况来得到dp[i][j] ：

不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。
放物品i：由dp[i-1][j-weight[i]]推出，dp[i-1][j-weight[i]]为背包容量为j-weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]（物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

写出来代码就是：

for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

背包问题-一维dp

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为了背包问题特意开个二维数组，有点浪费空间，那么就缩为一维数组dp[j]，更新的时候原地覆盖就可以了

dp[j]表示容量为j的背包能够装下的最高价值，

递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

遍历时顺序严格不可交换，因为物品i来了之后，要用到物品i-1的结果，所以有两大原则：

物品 i 在外层，背包容量 j 在内层，即先填满dp[j]
倒序遍历背包容量 j ，此举是为了防止前置位数据被覆盖，更新数据的时候用被覆盖过的数据就没意义了

写出来代码就是

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); 
    }
}

Leetcode416. 分割等和子集

题目链接：Leetcode416. 分割等和子集
一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
这个用背包来做还是挺有难度的

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(10001,0);
        int sum=0,target=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            sum+=nums[i];
        }
        if(sum%2==1) return false;
        target=sum/2;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            for(int j=target;j>=nums[i];j--){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        return dp[target]==target;
    }
};