一、✒️IoU（Intersection over Union）

1.1 🔥IoU原理

🚀交并比（IoU， Intersection over Union）是一种计算不同图像相互重叠比例的算法，经常被用于深度学习领域的目标检测或语义分割任务中。

在我们得到模型输出的预测框位置后，也可以计算输出框与真实框（Ground Truth Bound）之间的 IoU，此时，这个框的取值范围为 0～1，0 表示两个框不相交，1 表示两个框正好重合。

1-IOU 表示真实框与预测框之间的差异，如果用 1-IOU，这时的取值范围还是 0～1，但是变成了 0 表示两个框重合，1 表示两个框不相交，这样也就符合了模型自动求极小值的要求。因此，可以使用1-IOU来表示模型的损失函数（Loss 函数）。

---

🎯IoU 的定义如下：

✨直观来讲，IoU 就是两个图形面积的交集和并集的比值

☀️ 优点

使用IoU来计算预测框和目标框之间的损失有以下优点：

• 具有尺度不变性；
• 满足非负性；
• 满足对称性；

⚡️缺点

如果只使用IoU交并比来计算目标框损失的话会有以下问题：

• 预测框与真实框之间不相交的时候，如果|A∩B|=0，IOU=0，无法进行梯度计算；
• 相同的IOU反映不出实际预测框与真实框之间的情况，虽然这三个框的IoU值相等，但是预测框与真实框之间的相对位置却完全不一样；
  

也就是说，IoU 初步满足了计算两个图像的几何图形相似度的要求，简单实现了图像重叠度的计算，但无法体现两个图形之间的距离以及图形长宽比的相似性。

1.2 🔥IoU计算

上面介绍了IoU原理,下面是IoU简单计算的原理图，我们需要先计算出相交部分黄色的面积，然后再计算蓝框的面积与绿框围成面积的总和，然后计算两者的比值，如下：假设一个格子的面积是1，交集黄色部分的面积为2x2=4，蓝框与绿框围成面积总和为3x3+4x4-2x2=21，所以IOU=4/21=0.19;

在代码中并不是采用上面的计算方法，而是使用坐标进行计算，如下图，矩形 AC 与矩形 BD 相交，它们的顶点A、B、C、D，分别是：A(0,0)、B(3,2)、C(6,8)、D(9,10)

📟此时 IoU 的计算公式应为：

带入 A、B、C、D 四点的实际坐标后，可以得到：

1.3 📌IoU代码实现

import numpy as np

def IoU(box1, box2):
    # 计算中间矩形的宽高
    in_w = min(box1[2], box2[2]) - max(box1[0], box2[0])
    in_h = min(box1[3], box2[3]) - max(box1[1], box2[1])

    # 计算交集、并集面积
    inter = 0 if in_w <= 0 or in_h <= 0 else in_h * in_w
    union = (box2[2] - box2[0]) * (box2[3] - box2[1]) +\
            (box1[2] - box1[0]) * (box1[3] - box1[1]) - inter
    # 计算IoU
    iou = inter / union
    return iou

if __name__ == "__main__":
    box1 = [0, 0, 6, 8]  # [左上角x坐标，左上角y坐标，右下角x坐标，右下角y坐标]
    box2 = [3, 2, 9, 10]
    print(IoU(box1, box2))

运行结果：

0.23076923076923078

二、✒️GIoU（Generalized IoU）

2.1 GIoU原理

📜 CVPR2019中论文《Generalized Intersection over Union: A Metric and A Loss for Bounding BoxRegression》提出了GIOU的思想。

GIoU(Generalized Intersection over Union) 相较于 IoU 多了一个“Generalized”，通过引入预测框和真实框的最小外接矩形来获取预测框、真实框在闭包区域中的比重，从而解决了两个目标没有交集时梯度为零的问题。

引入了最小封闭形状C (可以把A，B包含在内)

公式定义如下：

其中C是两个框的最小外接矩形的面积。原有 IoU 取值区间为 [0,1]，而 GIoU 的取值区间为[-1,1] ；在两个图像完全重叠时IoU=GIoU=1，当两个图像不相交的时候IoU=0，GIOU=-1；

☀️优点

1. 与IoU只关注重叠区域不同，GIOU不仅关注重叠区域，还关注其他的非重合区域，能更好的反映两者的重合度；
2. GIOU是一种IoU的下界，取值范围[ − 1 , 1 ] 。在两者重合的时候取最大值1，在两者无交集且无限远的时候取最小值-1。因此，与IoU相比，GIoU是一个比较好的距离度量指标，解决了不重叠情况下，也就是IOU=0的情况，也能让训练继续进行下去。

⚡️缺点

但是目标框与预测框重叠的情况依旧无法判断：

2.2 🔥GIoU计算

上面我们已经计算出IOU的值，这里还需要计算由AD构成C的面积，也就是9x10=90；由GIOU公式可以计算出：

2.3 📌GIoU代码实现

import numpy as np

def GIoU(box1, box2):
    # 计算两个图像的最小外接矩形的面积
    x1, y1, x2, y2 = box1
    x3, y3, x4, y4 = box2
    area_c = (max(x2, x4) - min(x1, x3)) * (max(y4, y2) - min(y3, y1))

    # 计算中间矩形的宽高
    in_w = min(box1[2], box2[2]) - max(box1[0], box2[0])
    in_h = min(box1[3], box2[3]) - max(box1[1], box2[1])

    # 计算交集、并集面积
    inter = 0 if in_w <= 0 or in_h <= 0 else in_h * in_w
    union = (box2[2] - box2[0]) * (box2[3] - box2[1]) + \
            (box1[2] - box1[0]) * (box1[3] - box1[1]) - inter
    # 计算IoU
    iou = inter / union

    # 计算空白面积
    blank_area = area_c - union
    # 计算空白部分占比
    blank_count = blank_area / area_c
    giou = iou - blank_count
    return giou

if __name__ == "__main__":
    box1 = [0, 0, 6, 8]
    box2 = [3, 2, 9, 10]
    print(GIoU(box1, box2))

输出结果：

0.09743589743589745

三、✒️DIoU（Distance-IoU）

3.1 DIoU原理

🔥该原理是在19年⽂章Distance-IoU Loss: Faster and Better Learning for Bounding Box Regression提出的
基于IoU和GIoU存在的问题，作者提出了两个问题：

1. 直接最⼩化anchor框与⽬标框之间的归⼀化距离是否可⾏，以达到更快的收敛速度？
2. 如何使回归在与⽬标框有重叠甚⾄包含时更准确、更快？

GIoU 虽然解决了 IoU 的一些问题，但是它并不能直接反映预测框与目标框之间的距离，DIoU（Distance-IoU）即可解决这个问题，它将两个框之间的重叠度、距离、尺度都考虑了进来，使得⽬标框回归变得更加稳定。DIoU的计算公式如下：

其中、b和b^gt分别表示预测框与真实框的中心点坐标，p²(b,b^gt)表示两个中心点的欧式距离(指在欧几里得空间中两点之间的距离)，C 代表两个图像的最小外接矩形的对角线长度。

☀️优点

DIoU 相较于其他两种计算方法的优点是：

1. DIoU 可直接最小化两个框之间的距离，所以作为损失函数时 Loss 收敛更快。
2. 与GIoU loss类似，DIoU loss在与⽬标框不重叠时，仍然可以为边界框提供移动⽅向。
3. 在两个框完全上下排列或左右排列时，没有空白区域，此时 GIoU 几乎退化为了 IoU，但是 DIoU 仍然有效。
4. DIOU还可以替换普通的IOU评价策略，应用于NMS中，使得NMS得到的结果更加合理和有效。
   

⚡️缺点

DIoU 在完善图像重叠度的计算功能的基础上，实现了对图形距离的考量，但仍无法对图形长宽比的相似性进行很好的表示。

3.2 DIoU计算

通过计算可得，中心点 b、中心点 b^gt的坐标分别为：(3,4)、（6,6）

此时的 DIoU 计算公式为：

3.3 📌DIoU代码实现

import numpy as np

def calculate_diou(box1, box2):
    # 计算两个图像的最小外接矩形的面积
    x1, y1, x2, y2 = box1
    x3, y3, x4, y4 = box2
    area_c = (max(x2, x4) - min(x1, x3)) * (max(y4, y2) - min(y3, y1))

    # 计算中间矩形的宽高
    in_w = min(box1[2], box2[2]) - max(box1[0], box2[0])
    in_h = min(box1[3], box2[3]) - max(box1[1], box2[1])

    # 计算交集、并集面积
    inter = 0 if in_w <= 0 or in_h <= 0 else in_h * in_w
    union = (box2[2] - box2[0]) * (box2[3] - box2[1]) + \
            (box1[2] - box1[0]) * (box1[3] - box1[1]) - inter

    # 计算IoU
    iou = inter / union

    # 计算中心点距离的平方
    center_dist = np.square((x1 + x2) / 2 - (x3 + x4) / 2) + \
                  np.square((y1 + y2) / 2 - (y3 + y4) / 2)

    # 计算对角线距离的平方
    diagonal_dist = np.square(max(x1, x2, x3, x4) - min(x1, x2, x3, x4)) + \
                    np.square(max(y1, y2, y3, y4) - min(y1, y2, y3, y4))

    # 计算DIoU
    diou = iou - center_dist / diagonal_dist
    return diou

box1 = [0, 0, 6, 8]
box2 = [3, 2, 9, 10]
print(calculate_diou(box1, box2))

输出结果：

0.1589460263493413

四、✒️CIoU（Complete-IoU）

4.1 CIoU原理

📜 AAAI 2020(与DIOU同一篇文章) 论文链接：Distance-IoU Loss: Faster and Better Learning for Bounding Box Regression

论⽂考虑到bbox回归三要素中的⻓宽⽐还没被考虑到计算中，为此，进⼀步在DIoU的基础上提出了CIoU，同时考虑两个矩形的长宽比，也就是形状的相似性。所以CIOU在DIOU的基础上添加了长宽比的惩罚项。

其中，$\alpha$ 是权重函数，$\nu$而用来度量长宽比的相似性。计算公式为:

☀️优点

1. 更准确的相似性度量：CIOU考虑了边界框的中心点距离和对角线距离，因此可以更准确地衡量两个边界框之间的相似性，尤其是在目标形状和大小不规则的情况下。
2. 鲁棒性更强：相比传统的IoU，CIOU对于目标形状和大小的变化更具有鲁棒性，能够更好地适应各种尺寸和形状的目标检测任务。

⚡️缺点

1. 计算复杂度增加：CIOU引入了额外的中心点距离和对角线距离的计算，因此相比传统的IoU，计算复杂度有所增加，可能会增加一定的计算成本。
2. 实现难度较高：CIOU的计算方式相对复杂，需要对边界框的坐标进行更多的处理和计算，因此在实现上可能会相对困难一些，需要更多的技术和经验支持。

4.2 CIoU计算

中心点 b、中心点 b^gt的坐标分别为：(3,4)、（6,6）,由此CIoU计算公式如下：

4.3 📌CIoU代码实现

import numpy as np
import IoU
import DIoU
# box : [左上角x坐标，左上角y坐标，右下角x坐标，右下角y坐标]
box1 = [0, 0, 6, 8]
box2 = [3, 2, 9, 10]
# CIoU
def CIoU(box1, box2):
    x1, y1, x2, y2 = box1
    x3, y3, x4, y4 = box2
    # box1的宽：box1_w，box1的高：box1_h，
    box1_w = x2 - x1
    box1_h = y2 - y1
    # box2的宽：box2_w，box2的高：box2_h，
    box2_w = x4 - x3
    box2_h = y4 - y3
    iou = IoU(box1, box2)
    diou = DIoU(box1, box2)

    # v用来度量长宽比的相似性
    v = (4 / (np.pi) ** 2) * (np.arctan(int(box2_w / box2_h)) - np.arctan(int(box1_w / box1_h)))
    # α是权重函数
    a = v / ((1 + iou) + v)
    ciou = diou - a * v
    return ciou

print(CIoU(box1, box2))

输出结果：

0.1589460263493413

五、✒️EIOU（Efficient-IoU）

5.1原理

📜发表在arXiv2022年：《Focal and Efficient IOU Loss for Accurate Bounding Box Regression》上的论文

EIOU是在 CIOU 的惩罚项基础上将预测框和真实框的纵横比的影响因子拆开，分别计算预测框和真实框的长和宽，并且加入Focal聚焦优质的锚框，来解决 CIOU 存在的问题。先前基于iou的损失，例如CIOU和GIOU，不能有效地测量目标盒和锚点之间的差异，这导致BBR(边界框回归)模型优化的收敛速度慢，定位不准确。

针对上述问题，对CIOU损失进行了修正，提出了一种更有效的IOU损失，即EIOU损失，定义如下:

其中w^c和h^c是覆盖两个盒子的最小围框的宽度和高度。也就是说，我们将损失函数分为三个部分:IOU损失L_IOU，距离损失L_dis和方向损失L_asp。这样，我们可以保留CIOU损失的有效特点。同时，EIOU损失直接使目标盒与锚盒宽度和高度的差值最小化，从而使收敛速度更快，定位效果更好。

5.2 代码实现

import numpy as np

def calculate_eiou(box1, box2):
    # 计算嵌入向量（这里简化为使用中心点坐标作为嵌入向量）
    center1 = np.array([(box1[0] + box1[2]) / 2, (box1[1] + box1[3]) / 2])
    center2 = np.array([(box2[0] + box2[2]) / 2, (box2[1] + box2[3]) / 2])

    # 计算嵌入向量之间的欧式距离
    euclidean_distance = np.linalg.norm(center1 - center2)

    # 计算目标框的面积
    area_box1 = (box1[2] - box1[0]) * (box1[3] - box1[1])
    area_box2 = (box2[2] - box2[0]) * (box2[3] - box2[1])

    # 计算交集和并集的面积
    intersection = max(0, min(box1[2], box2[2]) - max(box1[0], box2[0])) * \
                   max(0, min(box1[3], box2[3]) - max(box1[1], box2[1]))
    union = area_box1 + area_box2 - intersection

    # 计算EIOU
    eiou = 1 - intersection / union + euclidean_distance
    return eiou

box1 = [0, 0, 6, 8]
box2 = [3, 2, 9, 10]
print(calculate_eiou(box1, box2))

输出结果

4.374782044694758

六、✒️Focal-EIOU

6.1 原理

🔥高质量的 anchor 总是比低质量的 anchor 少很多，这也对训练过程有害无利。所以，需要研究如何让高质量的 anchor 起到更大的作用。
贡献:

• 总结了现有回归 loss 的问题：最重要的是没有直接优化需要优化的参数
• 提出了现有方法收敛速度较慢的问题，很多的低质量样本贡献了大部分的梯度，限制了框的回归
• 提出了 Focal-EIoU，平衡高质量样本和低质量样本对 loss 的贡献，也就是提升高质量（IoU 大）样本的贡献，抑制低质量（IoU 小）样本的贡献

简单的方法不能直接适用于基于IOU的损失。因此，我们最后提出Focal-EIOU损失来改善EIOU损失的性能。使用IOU的值来重新加权EIOU损失，并获得Focal-EIOU损失，通过对难以分类的样本进行更加重视的损失函数设计，从而进一步提高目标检测算法的性能。如下所示:

其中 $\gamma$为控制异常值抑制程度的参数。该损失中的Focal与传统的Focal Loss有一定的区别，传统的Focal Loss针对越困难的样本损失越大，起到的是困难样本挖掘的作用；而根据上述公式：IOU越高的损失越大，相当于加权作用，给越好的回归目标一个越大的损失，有助于提高回归精度。

☀️优点

1. EIOU在CIOU的基础上分别计算宽高的差异值取代了纵横比，宽高损失直接使预测框与真实框的宽度和高度之差最小，使得收敛速度更快；
2. 在处理难以分类的样本时表现更好，能够进一步提高目标检测算法的鲁棒性和准确性。

⚡️缺点

在一般情况下可能会增加一定的计算复杂度，同时需要更多的参数调优和训练策略设计。

📌6.2 代码实现

import numpy as np

def calculate_focal_eiou(box1, box2, alpha=0.25, gamma=2):
    # 计算嵌入向量（这里简化为使用中心点坐标作为嵌入向量）
    center1 = np.array([(box1[0] + box1[2]) / 2, (box1[1] + box1[3]) / 2])
    center2 = np.array([(box2[0] + box2[2]) / 2, (box2[1] + box2[3]) / 2])

    # 计算嵌入向量之间的欧式距离
    euclidean_distance = np.linalg.norm(center1 - center2)

    # 计算目标框的面积
    area_box1 = (box1[2] - box1[0]) * (box1[3] - box1[1])
    area_box2 = (box2[2] - box2[0]) * (box2[3] - box2[1])

    # 计算交集和并集的面积
    intersection = max(0, min(box1[2], box2[2]) - max(box1[0], box2[0])) * \
                   max(0, min(box1[3], box2[3]) - max(box1[1], box2[1]))
    union = area_box1 + area_box2 - intersection

    # 计算Focal Loss
    iou = intersection / union
    focal_loss = -alpha * (1 - iou) ** gamma

    # 计算Focal-EIOU
    focal_eiou = 1 - iou + euclidean_distance + focal_loss
    return focal_eiou

box1 = [0, 0, 6, 8]
box2 = [3, 2, 9, 10]
print(calculate_focal_eiou(box1, box2))

输出结果：

4.2268530506119175

七、✒️SIOU（Soft Intersection over Union）

7.1原理

📜论文链接：《More Powerful Learning for Bounding Box Regression》

该论文中提出了一种新的损失函数 SIoU，其中考虑到所需回归之间的向量角度，重新定义了惩罚指标。应用于传统的神经网络和数据集，表明 SIoU 提高了训练的速度和推理的准确性。

在许多模拟和测试中揭示了所提出的损失函数的有效性。特别是，将 SIoU 应用于 COCO-train/COCO-val 与其他损失函数相比，提高了 +2.4% (mAP@0.5:0.95) 和 +3.6%(mAP@0.5)。

SIoU损失函数由4个Cost代价函数组成：

• Angle cost
• Distance cost
• Shape cost
• IoU cost

➤ Angle cost(角度代价)
如果$\alpha$<=45°的时候，需要先最小化$\alpha$；如果$\alpha$>45°,则需要最小化$\beta$=90°-$\alpha$，从公式化简之后的结果可以得出，如果预测框和真实框沿着x轴或者y轴对齐的时候，此时$\bigwedge$=0，如果中心点角度为45°的时候，此时$\bigwedge$=1；

论文中计算公式:
$$\Lambda =1-2\ast {\sin }^2\left(\arcsin (x)-\frac{\pi }{4}\right)$$

$$\begin{array}{c}x=\frac{c_h}{\sigma }=\sin (\alpha )\\ \sigma =\sqrt{{\left(b_{c_x}^{gt}-b_{c_x}\right)}^2+{\left(b_{c_y}^{gt}-b_{c_y}\right)}^2}\\ c_h=\max \left(b_{c_y}^{gt},b_{c_y}\right)-\min \left(b_{c_y}^{gt},b_{c_y}\right)\end{array}$$

可以将x和$\alpha$的值带入公式进行化简，其中 $C_h$ 为真实框和预测框中心点的高度差， $\sigma$ 为真实框和预测框中心点的距离。

$$\begin{array}{rl}& \Lambda =1-2\ast {\sin }^2\left(\arcsin \left(\frac{C_h}{\sigma }\right)-\frac{\pi }{4}\right)\\ & =1-2\ast {\sin }^2\left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)\\ & ={\cos }^2\left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)-{\sin }^2\left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\cos \left(2\alpha -\frac{\pi }{2}\right)\\ & =\sin (2\alpha )\end{array}$$

➤ Distance cost(距离成本)
真实值边界框与边界框预测值之间距离的计算方案。

根据上面定义的角度成本重新定义距离成本:
$$\Delta =\sum _{t=x,y}\left(1-e^{-\gamma {\rho }_t}\right)$$
where
$${\rho }_x={\left(\frac{b_{c_x}^{gt}-b_{c_x}}{c_w}\right)}^2,{\rho }_y={\left(\frac{b_{c_y}^{gt}-b_{c_y}}{c_h}\right)}^2,\gamma =2-\Lambda$$

当 $\alpha \to 0$,距离成本的贡献大大减少.与之相反 $\alpha$ 越接近 $\frac{\pi }{4}$, $\Delta$就越大,随着角度的增加，问题变得更加困难。 所以，随着角度的增加 $\gamma$ 的时间优先于距离值。当$\alpha \to 0$，距离成本将变为常规成本。

➤ Shape cost(形状成本)
形状成本定义为：
$$\Omega =\sum _{t=w,h}{\left(1-e^{-{\omega }_t}\right)}^{\theta }$$
其中:
$${\omega }_w=\frac{\left|w-w^{gt}\right|}{\max \left(w,w^{gt}\right)},{\omega }_h=\frac{\left|h-h^{gt}\right|}{\max \left(h,h^{gt}\right)}$$

𝜃 的值定义了形状的成本，并且其值对于每个数据集都是唯一的。 𝜃 的值是这个方程中非常重要的一项，它控制着对形状成本的关注程度。如果𝜃的值设置为1，它将立即优化形状，从而损害形状的自由运动。为了计算 𝜃 的值，对每个数据集使用遗传算法，实验上 𝜃 的值接近 4，作者为此参数定义的范围是从 2 到 6。

➤ SIOU最后的回归损失为：
$$L_{box}=1-IoU+\frac{\Delta +\Omega }{2}$$

八、✒️Wise-IoU

论文摘要：
📜近年来的研究大多假设训练数据中的示例有较高的质量，致力于强化边界框损失的拟合能力。但我们注意到目标检测训练集中含有低质量示例，如果一味地强化边界框对低质量示例的回归，显然会危害模型检测性能的提升。Focal-EIoU v1 被提出以解决这个问题，但由于其聚焦机制是静态的，并未充分挖掘非单调聚焦机制的潜能。基于这个观点，我们提出了动态非单调的聚焦机制，设计了 Wise-IoU (WIoU)。动态非单调聚焦机制使用“离群度”替代 IoU 对锚框进行质量评估，并提供了明智的梯度增益分配策略。该策略在降低高质量锚框的竞争力的同时，也减小了低质量示例产生的有害梯度。这使得 WIoU 可以聚焦于普通质量的锚框，并提高检测器的整体性能。将WIoU应用于最先进的单级检测器 YOLOv7 时，在 MS-COCO 数据集上的 AP-75 从 53.03% 提升到 54.50%

关于Wise-IoU的详细介绍可以观看这篇论文:Wise-IoU 作者导读：基于动态非单调聚焦机制的边界框损失

WIOU主要有以下几点优势:

1. 相对面积加权
   Wiou损失函数的计算中引入了交集与并集的比值，从而对不同大小的目标框进行了相对面积加权。这样可以避免小目标对损失函数的影响过大，提升了对小目标的检测效果。
2. 解决类别不平衡问题
   在目标检测任务中，经常会遇到类别不平衡的情况，即某些类别的目标数量明显少于其他类别。Wiou损失函数通过引入权重因子，可以对不同类别的目标进行不同程度的加权，从而解决了类别不平衡问题。
3. 高度可定制化
   Wiou损失函数的计算中，可以根据实际需求调整交集和并集的权重因子，从而对不同任务和数据集进行高度定制化的适配。这使得Wiou损失函数在实际应用中具有更广泛的适用性。